ε-δ論法
 その1「極限」


大学に入って数学を学ぶ上でまずつまずくのが、この「ε-δ論法」だと言われています。見たことのない方もおられるでしょうがこれは「イプシロンデルタろんぽう」と読みます。これは数学で「無限」を扱う時には欠かすことが出来ない考え方です。僕が初めてこの「ε-δ論法」に出会ったときは雷に打たれたような衝撃を覚えました(え?大袈裟ですか(笑))。数学が苦手だと言う方には難しそうに見えますが、そんなに難しい考え方ではありません。少し簡単にお話しますので、この「ε-δ論法」の素晴らしさを感じ取っていただけると幸いです。

さて、高校の数学で「連続関数」(本当は「関数」ではなくて「函数」なのですが高校では「関数」を使っているのでそうします)という言葉が出てきますがなぜ「連続関数」なのか皆さんはご存知でしょうか?
え?連続な関数だから?正解です。
では、「連続」とは?途切れずに繋がっていること?それでは正解とはいえません。
数学において「途切れず」とか「繋がっている」とかの曖昧な表現は許されないからです。実はこの「連続」も「ε-δ論法」できちんと定義が出来るのです(他で詳しく説明します)。

それでは今回は同じく高校で出てきた「極限」についてです。

(1)数列{an}(nは自然数)について、nが限りなく大きくなるときにanが1に限りなく近づくならばanは1に収束すると言い、また1はanの極限と言う。

これを式で書くと

「n→∞のときan→1」

となります(もしくはlimを使う)。まず「数列」とはここでは字の通り「数の列」と思っていただいて結構です。「自然数」とは「1,2,3,……」のことです。ですから数列{anとは数の列a1、a2、a3……ということです。
この列が1に限りなく近づくということなので一例を挙げると

0.9、0.99、0.999、0.9999、……

という数列になります。だんだんと1に近づいていってるのはわかりますね。ここでa1=0.9、a2=0.99、a3=0.999、a4=0.9999ということです。

さあここで問題になるのが「限りなく近づく」という表現です。曖昧ですね。限りなく近づくわけですから当然そこに到達は絶対にしません。上の数列{an} も1に限りなく近づくだけで1にはならないのです。ここが「無限」を扱う上で困ることなのです。何せ我々人間は「無限」を把握することが出来ないからです。「有限」の存在の私たちが「無限」をどう扱っていけばよいのでしょうか?そこで登場するのが「ε-δ論法」の考え方なのです。

具体的にはどうするのか?聞いたら「何だ、そんな事か」と思うかもしれません。
実は「無限」が扱えないなら「有限」で扱えばいいということなのです。ここで(1)を正確に定義します。

(2)ε>0, N>0  s.t. n≧N, |an -1|<ε

となります。意味不明の記号がたくさん出てきましたね。説明します。
は「任意の」という意味です。は「存在する」、s.t. (=such that)は「〜となるような」という意味ですが簡単に「に対して」と読んでもいいでしょう。||は絶対値です。簡単に言えば「大きさ」です。ここでは単に「+、−の記号を取る」と思ってください。これを踏まえて(2)を簡単に言いますと

(3)勝手な正の数εを一つ取ってくる。そのεに対してNという自然数が(必ず)存在してNより大きいan は|an -1|<εを満たす

と言うことです。ここで

「|an -1|<εを満たす」

とは

「an -1の大きさがεより小さい」

と言う事です。わかりづらいので例を示します。上にも挙げた例で0.9,0.99,0.999,……という数列を考えます。ここで勝手な正の数εを0.0001ととります。そしてNを4とします(理由は計算すればわかります)。
すると、a4=0.9999なのでそれより以降の例えば a5=0.99999だと

|a5-1|=|0.99999-1|=|-0.00001|=0.00001

となりεの0.0001より小さくなります。

えっ!?余計わかりずらくなった!?そうですか、ではもっと簡単に述べます。要は(3)は何が言いたいかというと、

「数列{an}の極限が1だということは、1からほんの少ししか離れていない極々小さい範囲に入っていない anは数える程度である」

と言うことです。上の例だと

「1から0.0001より大きく距離が離れている anは a1、a2、a3、a4の4個だけだ」

ということなのです。裏を返すと

「a1、a2、a3、a4の4個以外は全て1から半径0.0001の範囲に入っている」

ということになります。つまり、「有限個以外は皆極限のそばにある」という逆転の発想に基づいた考え方なのです。この半径をどれだけ狭めてもそこから漏れるのが有限個ならば、それが極限であるということになるのです。

ざっと「極限」について書きましたが説明下手で上手く伝わらなかったようにも思います(なら書き直せ!(笑))。ここに述べたのは「ε-δ論法」のほんのさわりに過ぎません。ここを読まれてε-δ論法の素晴らしさをほんの少しでも感じ取っていただけたらと思います。

え?εは出てきたがδはどうしたかって?それは次の「連続」の時に出てきますのでご安心を。


最後に上のことが理解できた方は次の問題を解いてみてください。ε-δ論法のすごさがわかりますよ。

(問題)数列{an}(nは自然数)の極限が1ならば、数列{(a1+a2+a3+……+an)/n}は1に収束することを証明せよ。


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