Modulation Transfer Function(MTF)について 　　　　　　　　　　　　　　　　H１２年８月１４日作成
MTFについて調べてみました。参考図書は、下記の２つです。
（１）Eugene Hecht著「 OPTICS third edition 」Addison-wesley
（２）H.R.Suiter 著「Star Testing Astronomical Telescopes」Willmann-Bell

１．Spatial frequency
　　今、図１のような「明暗明暗・・・」の対象を望遠鏡で見たとする。このとき、単位角度（１秒角）内に数えられる
　明暗のサイクル数をSpatial frequencyという。
　　　
　　　　図１　

２．Spatial frequencyと倍率
　　Spatial frequencyと倍率の関係について考える。
　　
　　　図２

　　図２で、倍率１の場合、Spatial frequencyは１サイクル/秒角。また、倍率２の場合のSpatial frequencyは
　0.5サイクル/秒角。
　　→倍率を上げるとSpatial frequencyは大きくなる。但し、Spatial frequencyの最大値Smaxは、望遠鏡の口径と
　　　観測する光の波長により決まる。
　　　Smax=D/λ[サイクル/radian]=(D/λ)*(π/180)*(1/3600)[サイクル/秒角]
　　（例）D=100mm,λ=550/1000000mmの場合、
　　　　　Smax=182000[サイクル/radian]=0.88[サイクル/秒角]

３．Modulation
　　対象物の明暗のコントラストの度合いを示す値をModulationと云い、下記の式で表す。
　　　Modulation＝(I(明)-I(暗))/(I(明)+I(暗))
　　Modulationの値が大きいほうがコントラストが高い。
　　図３にModulationの例を示す。
　　例１のModulation=(7-5)/(7+5)=0.17
　　例２のModulation=(10-0)/(10+0)=1.0
　　
　　図３

４．光学系によるModulationのtransfer
　　対象物のModulationを光学系にインプットした場合、出力されるModulationはどうなるかを見る。
　　
　　　図４

　「コントラストが高い⇔Modulationが大きい。」なので、図４より望遠鏡の倍率を上げるとコントラスト
　が低下する。

５．ＭＴＦ
（１）Fraction of maximum spatial frequency
　　　Smax=D/λ⇔1.0に正規化したときのspatial frequencyをFraction of maximum spatial frequency
　　と云う。
（２）ＭＴＦ
　　ＭＴＦとは、Fraction of maximum spatial frequencyを変数とするModulationのtransfer関数のこと。
　横軸にFraction of maximum spatial frequency、縦軸にModulationのtransfer値を取り完全光学系のＭＴＦ
　のグラフを書くと図５のようになる。倍率を上げるに従いコントラストが低下していく。
　　
　　　図５

（３）ＭＴＦの例
　完全光学系とのＭＴＦの比較例
　１）光学精度＝λ/4
　　　λ/4の光学系は、完全光学系に較べ全般に渡りコントラストが低下。
　　　
　　　　図６
　　　
　２）中央遮蔽＝３３％
　　　コントラストは、high spatial frequencyで改善。
　　　
　　　　図７

　３）Apodization（注）
　　　low spatial frequencyでは、コントラストが良くなる。一方、resolution limit近くでは逆に
　　コントラストは低下する。→限界二重星には不向き。但し、ディフラクションリングに邪魔される
　　ような不等光二重星には有効。（ Hechtの OPTICSには、シリウス伴星を見る時にApodizationが
　　有効と有り）
　　　
　　　　図８

　　（注）Apodizationについての補足
　　　１）"Apod-"とは、ギリシャ語の「足をとる」という言葉に由来。
　　　２）truncated Gaussian function
　　　　Apodizationによりディフラクションリングがなくなりベルカーブになる。
　　　　
　　　　図９
　雑談１：私は、図８のApodizationのカーブを見て、道元禅師の言葉「一方を証する時は、一方は暗し。
　　　　　(If you look at only one side,the other is dark)」を連想しました。
　雑談２：中央遮蔽が大きい望遠鏡にApodizationを行うとどうなるか。図７の破線のカーブと図８の
　　　　　破線のカーブを合成すると元の実線のカーブに似たものになります。→Apodizationの効果は
　　　　　あまり出ない。（各カーブのメリットがキャンセルされるようなもの）

　最後に、面光源の分解能について参考として載せます。
　　
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